Poštovana Franka Miriam Brueckler, zahvaljujem na jako opsežnom odgovoru . AKo nije problem da objasnite i gustoću vjerojatnosti i plohe. Te još jedno pitanje : Radijus 1s atoma vodika je 138 pm, kako dolazimo do tog podatka? Lijep pozdrav!

Ime i prezime: Ana Vlah

 


Evo sam tek sad našla nešto vremena za odgovor.

Prvo, rekli smo da je orbitala funkcija ψ koja zadovoljava
Schroedingerovu jednadžbu H ψ = E ψ. Ta funkcija ψ je općenito kompleksna, tj. uređenim trojkama brojeva (koje predstavljaju točke u prostoru, obično ih gledamo kao sferne koordinate) pridružuje kompleksne brojeve. No, kako je za svaki kompleksni broj umnožak njega i njemu kompleksno konjugiranog jednak kvadratu njegove apsolutne vrijednosti, a ona je uvijek realna, znači da ako pomnožimo ψ* (konjugiranu funkciju) i ψ dobivamo realnu funkciju |ψ|2.

E sad, temeljem aksioma kvantne mehanike slijedi da je ona zapravo funkcija gustoće vjerojatnosti za nalaženje elektrona (čija energija je opisana danim Hamiltonijanom H, a ima vrijednost E) u prostoru. Pojednostavljeno rečeno, to znači da ako želimo znati vjerojatnost da elektron bude u nekom stošcu moramo integrirati |ψ|2 unutar granica tog stošca (trostruki integral).

E sad nešto drugo: ako imamo realnu funkciju triju varijabli, a takva je |ψ|2, onda kad god ju izjednačimo s nekom konstantom dobivamo jednadžbu s tri nepoznanice koja opisuje neku plohu u prostoru, slično kao što ako funkciju dviju varijabli – recimo, x2 + y2 – izjednačimo s konstantom – recimo 1 – dobijemo jednadžbu krivulje u ravnini (u opisanom slučaju: jedinične kružnice). Za više o tome možete primjerice pogledati poglavlje 5.3. u ovom ili ovom dokumentu.

Uglavnom, izjednačavanjem iste funkcije s različitim konstantama dobivamo njene tzv. nivo-plohe. To znači da izjednačavanjem |ψ|2 s različitim (naravno, pozitivnim – |ψ|2 ne može biti negativno) konstantama dobivamo nivo-plohe od |ψ|2. One će – takve ispadaju funkcije ψ – uvijek biti takve da omeđuju nekakav konačni volumen, dakle se za svaku nivo-plohu može računati vjerojatnost da je odgovarajući elektron u dijelu prostora koji ta nivo-ploha omeđuje (kako je gore opisano u primjeru sa stošcem). I sad smo samo korak do kraja: imate orbitalu – kompleksnu funkciju koja je rješenje Schroedingerove jednadžbe; iz nje formiramo odgovarajuću funkciju gustoće vjerojatnosti |ψ|2 koja je realna funkcija triju varijabli; od svih njenih (beskonačno mnogo!) nivo-ploha odaberemo jednu (konvencija je: biramo onu za koju je vjerojatnost da se elektron nađe u njome omeđenom dijelu prostora 90 %) i to nazovemo "kako orbitala izgleda". Da, pod navodnike jer, ponavljam: orbitala nikako ne izgleda, osim kao formula, pa čak ni |ψ|2 nikako ne izgleda – isto kao što x2 + y2 + z2 nikako ne izgleda (osim kao formula), ali možemo nacrtati kako izgledaju točke prostora kojima su koordinate (x,y,z) i koje zadovoljavaju jednadžbu
x2 + y2 + z2 = 4325665363 :-)

Što se Vašeg drugog pitanje tiče, nisam sasvim sigurna – opet je problem u nazivu (dosta je glupo pričati o radijusu, tj. udaljenosti od jezgre, nečega što ni u kojem trenu ne znamo gdje je, pa čak niti to nešto – elektron – ne možemo razlikovati od drugih opisanih istom orbitalom :-)) – no vjerujem da se radi o pojmu "očekivani radijus", tj. "očekivana udaljenost do jezgre". Ako je tako, onda ovako: ako je f funkcija gustoće vjerojatnosti da se nešto negdje nađe (recimo, f = |ψ|2 za Vas, s tim da u konkretnom primjeru trebate uzeti ψ koji odgovara kvantnim brojevima 1,0,0 i Z = 1), onda se očekivana udaljenost do ishodišta (u kvantnoj obično, nakon odvajanja dijela jednadžbe koji se odnosi na jezgru i njeno gibanje, uzimamo da je jezgra u ishodištu) dobivamo kao <r> = trostruki integral po čitavom prostoru od r puta f Oprez: taj iznos samo znači da je vjerojatnije da se Vaš elektron nađe u NEKOM DIJELU prostora oko sfere polumjera r – no, vjerojatnost da se elektron nađe točno na udaljenosti <r>, ili točno na bilo kojoj drugoj, uvijek je jednaka nuli!

Lijep pozdrav,

Odgovorio: Franka Miriam Brueckler   bruckler@math.hr

<-- Povratak

 

Postavite pitanje iz bilo kojeg područja kemije i
e-škola će osigurati da dobijete odgovor od kompetentnog znanstvenika.

copyright 1999-2000 e_škola_________kemija